作者：whisper

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    二维随机变量

    1、多维随机变量

    设X=X(ω）， Y=Y(ω）是定义在样本空间Ω上的两个随机变量，则称向量(X, Y)为二维随机变量或随机向量

    性质：

    （1）0≤F(x,y)≤1

    （2）F(x,y)分别关于x和y单调不减，即

    对于固定的y，若x₁<x₂,则F(x₁, y) ≤ (x₂, y) 

    对于固定的x，若y₁<y₂,则F(x, y₁) ≤ (x, y₂) 

    (3)F(x,y)分别关于x和y右连续，即

    F(x+0,y) = F(x,y),    F(x, y+0) = F(x,y)

    (4)F(-∞,y) = lim[x->-∞]F(x,y) = 0, F(x, -∞) = lim[y->-∞]F(x,y) = 0

    F(-∞,-∞) = lim[x->-∞,y->-∞]F(x,y) = 0,    F(+∞,+∞) = lim[x->+∞,y->+∞]F(x,y) = 1

    (5)对于任意实数x₁<x₂， y₁<y₂，有

    F(x₂, y₂) - F(x₂, y₁) - F(x₁, y₂) + F(x₁, y₁) ≥ 0

    二维离散型随机变量

    定义

    若二维随机变量(X, Y)的每一个分量X和Y都是离散型的，则称(X, Y)为二维离散型随机变量。

    联合概率分布

    设(X, Y)的一切可能取值为(xᵢ, yⱼ)，i = 1, 2,...;j=1, 2,...;则称pᵢⱼ = P(X = xᵢ, Y = yⱼ)，i, j = 1, 2,...为(X, Y)的联合分布律，或联合概率分布。

    二维离散型随机变量(X, Y)的联合分布律常用下列形式表示：

    联合分布律的性质如下：1）pᵢⱼ ≥ 0; 2）∑[i=1,n]∑[j=1,n]pᵢⱼ = 1

    二维连续型随机变量

    定义

    设(X, Y)的联合分布函数为F(x, y)，如果存在非负可积函数f(x, y)，使得对任意实数x, y，有F(x, y) = ∫[-∞,x]∫[-∞,y]f(u, v)dudv，则称(X, Y)为二维连续型随机变量，f(x, y)为其联合概率密度函数。

    f(x, y)的性质主要有：

    （1）f(x, y) = 0；

    （2）∫[-∞,+∞]∫[-∞,+∞]f(x, y)dxdy

    满足上述（1）（2）两条性质的二元函数f(x, y)必可作为某二维随机变量的联合概率密度。

    （3）若f(x, y)在点(x, y)连续，则有f(x, y) = ∂²F(x, y)/∂x∂y

    （4）设G是平面xoy上的区域，点(X, Y)落在G内的概率为

                P{(X, Y)∈G} = ∫∫[G]f(x, y)dxdy

    边缘分布

    二维随机变量边缘分布函数

    设F(x, y)为(X, Y)的联合分布函数，关于X和Y的边缘分布函数分别为Fₓ(x)和Fᵧ(y)，则有

    Fₓ(x) = F(x, +∞) = P{X ≤ x, Y < +∞} = lim[y->+∞]F(x, y)

    Fᵧ(y) = F(+∞, y) = P{x < +∞, Y ≤ y} = lim[x->+∞]F(x, y)

    (1)二维离散型边缘分布

    (X, Y)的分量X和Y的分布律称为其边缘分布律：

    它与联合分布律的关系为：

    pᵢ = P(X = xᵢ) = ∑[j=1,n]P(X=xᵢ, Y = yⱼ) = ∑[j=1, n]pᵢⱼ

    pⱼ = P(Y = yⱼ) = ∑[i=1,n]P(X=xᵢ, Y = yⱼ) = ∑[i=1, n]pᵢⱼ

    (2)二维连续型，边缘密度公式

    Fₓ(x) = lim[y->+∞]F(x,y) = lim[y->+∞]∫[-∞,x]∫[-∞,y]f(u,v)dudv = ∫[-∞,x]∫[-∞,+∞]f(u,v)dudv

    fₓ(x) = F'ₓ(x) = ∫[-∞,+∞]f(x, y)dy

    同理：fᵧ(y) = F'ᵧ(y) = ∫[-∞,+∞]f(x, y)dx

    条件分布

    （1）二维离散型随机变量条件分布

    对于固定j，若pⱼ = P(Y = yⱼ) > 0，则称

    pᵢ|ⱼ = P(X = xᵢ | Y = yⱼ) = P(X = xᵢ, Y = yⱼ) / P(Y = yⱼ) = pᵢⱼ/pⱼ

    i = 1, 2...为X关于(Y = yⱼ)的条件分布

    类似地，若pᵢ = P(X = xᵢ) > 0，则称

    pⱼ|ᵢ = P(Y = yⱼ | X = xᵢ) = P(X = xᵢ, Y = yⱼ) / P(X = xᵢ) = pᵢⱼ/pᵢ

    i = 1, 2...为Y关于(X = xᵢ)的条件分布

    （2）二维连续型随机变量条件分布

    若对于给定的x，有fₓ(x)>0，则称

    fᵧ|ₓ(y|x) = f(x, y)/fₓ(x)，-∞ < y < +∞为Y关于X=x的条件密度函数，类似地，若fᵧ(y) > 0，则称

    fₓ|ᵧ(x|y) = f(x, y)/fᵧ(y)，-∞ < x < +∞为X关于Y=y的条件密度函数

    注：条件密度函数同样满足密度函数的所有性质

    相互独立的随机变量

    （1）二维离散型情形

    对于二维离散型随机变量(X, Y)，X与Y相互独立的充要条件为

    pᵢⱼ = pᵢ x pⱼ，对任何i,j = 1, 2,...

    （2）连续型情形

    对于二维连续型随机变量(X, Y)，X与Y相互独立的充要条件为

    f(x, y) = fₓ(x)fᵧ(y)

    两个随机变量函数的分布

    已知(X, Y)分布，求z = g(x, y)的分布

    类型：1：离散型，2：连续型，3：混合型：x离，y连

    1：离散型：z = g(x, y)离散

    关键：z取值+对应概率

    表格法

    2：二维连续型随机变量函数的分布

    设二维连续型随机变量(X, Y)的概率密度为f(x, y)，

    z = g(x, y)为二元连续函数，则Z = g(X, Y)是一维连续型随机变量

    方法1：分布函数法

    方法2：公式法(x+=x÷y)

    (一）E = X + Y公式法要点

    (x, y) ~ f(x, y) = [ ≠ 0, (x, y)∈D;  = 0，其它]

    fₑ(e) = ∫[-∞, +∞]f(x, e - x)dx =>(独立)∫[-∞, +∞]fₓ(x)fᵧ(e-x)dx

    fₑ(e) = ∫[-∞, +∞]f(e - y, y)dy =>(独立)∫[-∞, +∞]fₓ(e-y)fᵧ(y)dy

    注：若X~N(μ₁, σ₁²)，Y~N(μ₂, σ₂²)

    X与Y独立，则X+Y~N(μ₁+μ₂, σ₁²+σ₂²)    减也可以，正态公式可加性

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