作者：whisper

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     微分中值定理

    重要概念

    微分中值定理 罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理

    公式定义性质

    典型例题

    注：重点在构造辅助函数，F'(x) = g'(x)f(x) + f'(x)g(x)

    注：（1）对f'(x) + g(x)f(x)，辅助函数形式为f(x)e^G(x)且G'(x) = g(x)，（2）方程同除η化成（1）的形式再找辅助函数

    注：（1）结论没有导数可用零点定理，构造辅助函数F(x) = f(x) - x；（2）将f'(x)-1看成f'(x)用上面总结的结论

    注：含一堆常数（含f的常数），令常数为k（常数k值法），整理使两边有轮换对称性，如本题(bf(b) - af(a))/(b-a) = k => bf(b) - kb = af(a) - ka，所以辅助函数就是F(x) = xf(x) - (bf(b) - af(a))/(b-a)*x

    注：微分中值定理求极限，f(x) = arctanx

    注：微分中值定理求极限，f(x) = e^x

    注：找辅助函数，F(x) = xf(x)，用拉格朗日中值定理

    注：设零点为c，用a~c，c~b两次利用拉格朗日中值定理，取绝对值

    注：三个点用两次拉格朗日中值定理，两次拉格朗日定理产生的两个点再用一次格格朗日中值定理，分析产生的两个点的一阶导的正负性即可

    注：利用拉格朗日中值定理求出ξ(t)，求利用等价无穷小求极限

    注：分离η、ξ，f'(ξ) = (f(b) - f(a))/(b-a)，e^(-η)/f'(η) = (eᵇ-eᵃ)/(f(b)-f(a))，两式消去f(b)-f(a)

    注：右端上面减ln(1+0)，下面减arcsin0，使用柯西定理，可得左边形式，只要证左边在(0,1)是增函数，显然是增函数

    注：对tanx, 利用已知的sinx, cosx求tanx，因为sinx = cosx*tanx，设出tanx的麦克劳林公式，注意tanx的偶数阶导数为0(因为tanx为奇，偶数阶导数也为奇，奇函数0点为0，比较等式系数得出结果；对y=arctanx，利用y' = 1/(1+x²)，得用泰勒公式展开成多项式，再积分可得arctanx的展开式

    注：展开sinx，看x的6次方的系数，系数中含6阶导的值，即y按公式展开的形式和利用展开sinx的形式应该是一样的，从而确定系数

    注：泰勒展开到2阶，带3阶拉格朗日余项，x₀=0，代入x=-1和x=1，消去二阶导（一阶导为零），只剩三阶导，分析三阶导的情况可得答案

    注：用泰勒公式展开到1阶，带2阶拉格朗日型余项，x=0,x=1带入，两式相减，得f'(x)的等式，利用绝对值性质和抛物线性质

    导数的应用

    重要概念

    导数 单调性 极值 极值的第一充分条件 极值的第二充分条件 最值 凹凸性 拐点 拐点的第一充分条件 拐点的第二充分条件 水平渐近线 铅直渐近线 斜渐近线 曲率 曲率半径

    公式定义性质

    注：最多两条

    注：可以有无数条

    注：斜渐近线最多两条

    注：要求一，二阶导

    典型例题

    注：设辅助函数f(x)/x，求导使用拉格朗日中值定理

    注：隐函数求导，一阶导为0，求出x, y，再求二阶导，看符号

    注：f'(t) = 0求出t(a)，t'(a) = 0求最小值

    注：参数方程求导，二阶导数小于0

    注：先找到二阶导为0与不可导点，再用判断拐点的方法进行判断，可以用表格法列出区间，二阶导符号

    注：使用拐点定义，二阶导为0且两侧变号

    注：做辅助函数，求一阶导，再求二阶导，研究符号，判断单调性

    注：技巧，先取对数，再做辅助函数，求导，研究符号，判断单调性

    注：做辅助函数，求出二阶导，利用凹凸性，两端点为0，中间凸，大于0

    注：做辅助函数，F'(x) = 0，找最大最小值即可

    注：常数不等式，变成函数不等式，把b改成x，做辅助函数，求一阶导，分析

     注：辅助函数，零点定理

    注：构造辅助函数F(x) = a₀x + a₁/2*x²+...+aₙ/(n+1)*xⁿ⁺¹，使用罗尔定理F'(x) = 0

     注：使用拉格朗日值定理得f(a+|f(a)|/k)>0，再用单调性、零点定理

    注：求二阶导，分类讨论，k≤0, k > 0，还可以分离常数，分离出来k，讨论另一端x的函数与y=k直线的交点

    C 注：找水平，铅直，斜渐近线

    注：用定义求

    注：求一二阶导，带入公式

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