作者：whisper

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    二重积分的概念与性质

    重要概念

    二重积分 积分区域 被积分函数 积分变量 中值定理 最值定理 

    公式定义性质

    典型例题

    注：重积分比较定理

    注：0/0型未定型，中值定理消积分号

    二重积分的计算法

    重要概念

    直角坐标 x型积分 y型积分 

    公式定义性质

    注：x型积分，先y后x 极坐标 

    注：y型积分，先x后y

    注：可能用到极坐标的情况

    典型例题

    注：积分区域如下，用x型积分和y型积分都可以

     注：积分区域如下，分析被积函数，知先对y积分比较容易，故选x型积分

    注：积分区域如下，选y型积分比较好

    注：图形如下，以相交部分的中心为原心建立空间直角坐标系

    注：dxdy = rdrdθ，x = rcosθ，y = rsinθ

    注：积分区域为圆，被积函数适合极坐标的形式，转化为极坐标的形式计算

    注：被积函数中有x²+y²的形式，积分区域是图的一部分，用极坐标

    注：体积如下，分析知用极坐标比较好

    二重积分的对称性

    重要概念

    对称性 轮换对称性 奇偶性 

    公式定义性质

    

    注：二重积分的计算方法：直接法中有直角坐标法和极坐标法，技巧法中有利用奇偶性和轮换对称性法

    典型例题

    注：积分区域如下，利用奇偶性

    注：做二重积分首先找积分区域，做辅助线，分成两个有对称性的区域分别计算

    注：被积函数含有抽象的部分，想到用对称性（奇偶性），积分区域如下（做辅助线）

    注：积分区域关于y=x对称，具有轮换对称性，

    注：积分区域如下，关于y=x对称，用轮换对称性

    二重积分的综合题目的计算

    重要概念

    交换积分次序 

    解题思路

    典型例题

    注：通过奇偶性化简，再用极坐标

    注：积分区域如下，具有轮换对称性

    注：积分区域如下，关于x轴对称，用奇偶性化简，再用极坐标计算

    注：这个不容易看出积分区域，化回直角坐标再进行计算

    注：分割积分区域，消去取整符号，积分区域如下

    注：分割区域，消去绝对值号

    注：重点是作出积分区域，可能要分割积分区域

    注：重点是作出积分区域，积分区域如下

    注：重点在做出积分区域，积分区域如下

    注：直接积分积不出来，交换积分次序

    注：直接积分不好积，交换积分次序

    注：交换积分次序

    注：重点在找出积分区域，二次化二重，二重化二次，积分区域如下

    注：重点在找积分区域，积分区域如下

    注：重点在找积分区域，积分区域如下

    注：极限化积分

    注：分析函数知f(x, y)为xy加一个数，排除B选项，积分区域如下，二重积分看成一个数A，函数两边同时二重积分，左边即A

    注：做如下积分区域，利用夹逼准则证明，

    注：D₁是小1/4圆周，D₂是正方形，D₃是大1/4圆周

    三重积分

    重要概念

    三重积分 中值定理 奇偶性 轮换对称性 直角坐标 柱坐标 球坐标

    公式定义性质

    注：技巧法和二重积分类似如下：

    注：交换自变量，看积分区域方程是否改变，不变的即具有轮换对称性

    注：先一后二的投影法适合积分区域是x,y的函数，先二后一的截面法更适合积分区域是z的函数，

    注：柱坐标的实质：先一后二，先二后一中的二用极坐标表示

    注：只要知道φ，θ，r就可以确定空间中的一个点

    典型例题

    注：积分区域如下，用先一后二的投影法求

    注：积分区域具有轮换对称性，被积函数看成6x，再用先一后二的投影法来做

    注：被积函数只是z的函数，适合用先二后一的截面法

    注：先二后一比较好，二用极坐标

    注：用球坐标系做，确定φ，θ，r三个参数

    注：积分区域如下，先用奇偶性化简被积函数，再用球坐标计算

    重积分的应用

    重要概念

    曲面的面积 质心 转动惯量 万有引力

    公式定义性质

    设物体占有有界空间区域Ω，在点(x, y, z)的密度为ρ(x, y, z)，且在区域Ω上连续，在Ω外有一单位质量的质点M₀(x₀, y₀, z₀)，则物体对质点M₀的引力为F={Fx，Fy，Fz}，则

    典型例题

    注：积分区域如下，算出偏导数，用公式计算

     注：积分区域，用求质心的公式，用极坐标进行计算

    注：三维空间下的三元积分，积分区域如下，用球坐标

    注：质量均匀，用公式

    注：积分区域如下，求dσ的转动惯量，再对整个区域积分

    注：积分区域如下，转动惯量的公式，用球坐标计算

    注：积分区域如下，由对称性可知，Fx和Fy为0，只要求Fz，带入公式求即可

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