作者：whisper

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    对弧长的积分

    重要概念

    对弧长的曲线积分（第一类曲线积分） 

    公式定义性质

    注：第一类曲线积分积分结果与积分方向无关

    下面是三元函数的情况

    注：上面说的是奇偶性

    注：上面说的是轮换对称性

    注：上面说的是参数方程的情况

    典型例题

    注：直角坐标下的第一类曲线积分

    注：积分区域如下，有对称性，用转动惯量的公式

    注：直角坐标系下的曲线积分

   注：直角坐标下的曲线积分

    注：直角坐标下的曲线积分，先化简再利用对称性

    注：三元函数的曲线积分，参数式

    注：此题有技巧，(x+y+z)²-(x²+y²+z²) = 2(xy+xz+yz) = -1，而xy,xz,yz有轮换对称性，即被积函数为xy,xz,yz时的结果是一样的，故∫˪xyds = 1/6∫˪xy+xz+yzds = 1/6∫˪-1ds，求出即可，另球面球心在原点，平面过原点，故交线切球面的交线为直径最大的圆

    对坐标的曲线积分

    重要概念

    对坐标的曲线积分（第二类曲线积分）

    公式定义性质

    注：（3）表示积分结果与路径有关

    注：下面讲平面曲线的情况

    注：参数方程的情况

    注：y为x函数的情况，看成是一种特殊的参数方程

    典型例题

    注：抛物线写成参数方程，用参数方程的曲线积分做

    注：（1）L为半圆，用参数方程形式，（2）L为一个线段，用参数方程形式

    注：（1）y是x的函数，对x积分，（2）x是y的函数，对y积分，（3）分成OA，OB两段曲线分别积分

    注：变力沿曲线做功的问题，表示出F，确定曲线L，第二型曲线积分

    注：空间第二类曲线积分，L化成参数方程形式

    注：空间第二类曲线积分，L化成参数方程形式

    格林公式及其应用

    重要概念

    格林公式 封闭区域 补线 挖洞 正方向 积分与路径无关

    公式定义性质

    注：曲线的方向：以人站立为例，左手落在阴影中，人的方向即曲线方向

    注：对第二型曲线积分，何时选用格林公式呢？如果两个偏导数之差简单就用格林公式

    注：利用第二型曲线积分求面积的方法

    注：当不能直接用格林公式时，如不是封闭区线时，补线使形成封闭区域，当封闭区域有不可导点时，挖洞去掉不可导点

    注：对（3），求u(x, y)的方法如下

    典型例题

    注：先用格林公式再用极坐标

    注：原被积函数不好处理，利用格林公式反推化成第二型曲线积分的形式再处理

    注：利用第二型曲线积分求面积，化成参数方程形式

    注：对x, y两个偏导数之差为0，奇点为(0, 0)点，分(0,0)点在积分区域和不在积分区域讨论，当在积分区域中时挖洞，挖出一个小圆，再用格林公式处理

    注：直接用格林公式

    注：积分区域如下，须补红色的一条线形成封闭区域，最后减去红色曲线的积分

    注：两个偏导数相等，说明与路径无关，也即是某个函数的全微分，再用求全微分的方法求这个函数

    注：两个偏导数相等（∂Q/∂x=∂P/∂y)，说明与路径无关，也即是某个函数的全微分，再用求全微分的方法求这个函数

注：全微分方程应满足，可以求出原函数u(x, y)，用求全微分的方法求出u(x, y)

    还可以用偏积分的方法

    注：路径无关P，Q的偏导数相等，得到关于f(x)的等式，求解得出f(x)

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