作者：whisper

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    说明：该节主要讲了函数极限的定义与性质

    函数极限的定义

    1、自变量趋于无穷大时函数的极限

    定义1：lim[x->∞]f(x)=A <=> ∃X > 0，当|x| > X，有|f(x) - A| < ε

    定义2：左右极限

    注：左右极限与极限的关系

    lim[x->∞]f(x) = A <=> lim[x->-∞]f(x) = lim[x->+∞]f(x) = A

    2、自变量趋于有限值时函数的极限

    定义3：lim[x->x₀]f(x) = A <=> ∀ε > 0, ∃δ > 0，当0<|x - x₀|<δ时，有

                                    |f(x) - A| < ε

    定义4：左右极限

    lim[x->x₀⁻]f(x) = A叫做函数f(x)当x-> x₀时的左极限

    lim[x->x₀⁺]f(x) = A叫做函数f(x)当x-> x₀时的右极限

    左右极限的情景

    e^∞，arctan∞，分段函数

    注：^表示后面是次方

    函数极限的性质

    定理1 （函数极限的唯一性）

    如果lim[x->x₀]f(x)存在，那么这极限唯一。

    定理2 （函数极限的局部有界性）

    如果lim[x->∞]f(x) = A，那么存在常数X > 0和M > 0，使得当|x| > X时，有|f(x)| < M

    如果lim[x->x₀]f(x) = A ，那么存在常数M>0和δ>0，使得当0<|x-x₀|<δ时，有|f(x)| < M

    定理3 （函数极限的局部保号性）

    如果lim[x->∞]f(x) = A，且A>0（或A<0）那么存在常数X>0，使得当|x|>X时，有f(x)>0（f(x)<0)

    如果lim[x->x₀]f(x) = A ，且A>0（或A<0）那么存在常数δ>0，使得当0<|x-x₀|<δ时，有f(x)>0（f(x)<0)

    定理3'

    如果lim[x->∞]f(x) = A（A ≠ 0），那么就存在X>0，当|x|>X时，就有|f(x)|>|A|/2

    如果lim[x->x₀]f(x) = A （A ≠ 0），那么就存在x₀的某一去心邻域U(x₀)，当x∈U(x₀)时，就有|f(x)|>|A|/2

    注：去心邻域的符号打不出来，用U代替

    推论

    如果存在X>0，当|x|>X时，有f(x) ≥ 0（或f(x) ≤ 0），而lim[x->∞]f(x) = A，那么A ≥ 0（或A ≤ 0）

    如果在x₀的某去心邻域内f(x)≥0（或f(x)≤0），而lim[x->x₀]f(x) = A，那么A ≥ 0（或A ≤ 0）

    定理4（函数极限与数列极限的关系）

    如果极限lim[x->∞]f(x)存在，{xₙ}在函数f(x)的定义域内，且满足：limxₙ=∞，那么相应的函数值数列f(xₙ)必收敛，且lim[n->∞]f(xₙ)=lim[x->∞]f(x)

    如果极限lim[x->x₀]f(x)存在，{xₙ}为函数f(x)的定义域内任一收敛于x₀的数列，且满足：xₙ ≠ x₀（n ∈ N⁺），那么相应的函数值数列f(xₙ）必收敛，且lim[n->∞]f(xₙ)=lim[x->x₀]f(x)

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