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高等数学常微分方程知识总结

198人浏览 / 0人评论 / | 作者:whisper  | 分类: 高等数学  | 标签: 高等数学  | 

作者:whisper

链接:https://proprogrammar.com/article/1018

声明:请尊重原作者的劳动,如需转载请注明出处


这两天看在线课程,觉得讲得挺全面,在此记录一下。

首先分为一阶和高阶常微分方程

一阶有一阶特殊(可分离变量,齐次)和一阶线性微分方程,还有一种特殊的伯努利方程

高阶有高阶特殊(可降阶,缺y型,缺x型)和高阶线性微分方程,其中高阶线性微分方程分为高阶齐次线性微分方程和高阶非齐次线性微分方程,主要研究的是高阶齐次和非齐次常系数线性微分方程,还有一种特殊的欧拉方程

没有讨论高阶非齐次线性微分方程的情况

一阶的几种情况

(1)可分离变量的微分方程

即把x放一端,y放一端,两端积分,只保留一个C

例题:

(2)齐次方程

即通过u=y/x换元,转化为(1)可分离变量微分方程

例题:

 

(3)一阶线性微分方程

对于一阶线性,有通解公式

例题:

(4)伯努利方程

伯努利方程是利用换元来巧解

例题:

高阶的几种情况

(1)可降阶的高阶微分方程

不断的积分降阶,注意几阶就有几个C(未知数)

例题:

(2)y'' = f(x, y')型的微分方程(缺y型)

通过换元降为一阶微分方程,然后再回代,这里把p看成x的函数

例题:

(3)y'' = f(y, y')型微分方程(缺x型)

通过换元降为一阶微分方程,解出后回代,这里p看成是y的函数

例题:

(4)线性微分方程解的结构

特解可以组合成通解,非齐次的通解要用到齐次的通解,非齐次特解的差是齐次的特解,非齐次f1(x)和f2(x)的特解组合是非齐次f1(x)+f2(x)的特解等等

例题:

(5)二阶、高阶常系数齐次非齐次线性微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程

指数函数一类,三角函数一类

例题:

n阶常系数齐次线性微分方程

对所有根组进行组合相加

例题:

二阶常系数非齐次线性微分方程

利用待定系数法设出特解,然后齐次通解+非齐次特解=非齐次通解,这里是指数型非齐次

例题:

这里是三角函数型非齐次

例题:

(6)欧拉方程

一般只考到二阶欧拉方程

例题:


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