作者：whisper

链接：http://proprogrammar.com:443/article/218

声明：请尊重原作者的劳动，如需转载请注明出处

    随机变量

    在样本空间Ω上，随机试验的每一个可能的结果ω∈Ω都用一个实数X = X(ω)来表示，且实数X满足：

    （I)X是由ω唯一确定的

    （II)对于任意给定的实数x，事件{X≤x}都是有概率的

    则称X(ω)为一随机变量，简记为X，一般用英文大写字母X,Y,Z等表示随机变量

    离散型随机变量及其分布律

    1）离散型随机变量的定义

    若随机变量X的所有可能取值只有有限个或可列无穷个，则称X为离散型随机变量

    2）分布律

    设X的所有可能取值x₁, x₂, ..., xₙ,...，则称P(X=xᵢ) = pᵢ，i = 1, 2, ...o X的分布律，或用下列形式表示X的分布律：

    显然，分布律满足(1)，pᵢ ≥ 0，i = 1, 2, ....；（2）∑[i]pᵢ = 1

    常见分布

    伯努力实验（n重独立重复实验）

    （1）实验结果只有两个     发生（A）与不发生（￢A）

    （2）P(A) = p       P(￢A) = 1 - p

    （3）n次试验之间相互独立

    0-1分布

    背景：描述一次伯努利试验中A发生的次数

    分布律

    二项分布B(n, p)

    背景：n重伯努利试验中A发生的次数X（独立重复试验序列）

    分布律

    P{X=k} = C[n,k]pᵏ(1-p)ⁿ⁻ᵏ，k = 0, 1, 2...n，k为n次实验中A总共发生k次

    几何分布

    背景：伯努利试验首次成功时的试验次数X

    分布律

    P{X=k} = (1-p)ᵏ⁻¹p，k = 1, 2, 3....，k为首次成功发生在第k次

    泊松分布

    背景：单位时间内某事件发生的次数X

    分布律

    P{X=k} = λᵏe^(-λ)/k!，k = 0, 1, 2, 3，λ>0

    注：eˣ = ∑[k=0,+∞]xᵏ/k!       ∑[k=0,+∞]λᵏe^(-λ)/k! = e^(-λ)∑[k=0,+∞]xᵏ/k! = e^(-λ)•e^λ = 1(泊松分布的概率和为1）

    超几何分布

    背景：N个产品中有M个不合格品，从中抽取n个，其中不合格品的个数X

    分布律

    P{X=k} = C[M, k]C[N-M, n-k]/C[N,n]，k = 0, 1, 2.... min(n,M)

    随机变量的分布函数

    分布函数的定义

    设X为随机变量，x为任意实数，F(x) = P{X=k}  x∈(-∞, +∞)，称为X的分布函数

    分布函数

    （1）0 ≤ F(x) ≤ 1

    （2）单调不减    ∀x₁ < x₂ =>F(x₁) ≤ F(x₂)

    （3）右连续性    ∀x    F(x+0) = F(x)

    （4）F(-∞) = 0， F(+∞) = 1

     连续型随机变量及其概率密度

    定义

    若随机变量X的分布函数F(x)存在非负函数f(x)，对∀x有

    F(x) = ∫[-∞,x]f(t)dt

    称f(x)为X的概率密度函数

    f(x)性质

    （1）f(x) ≥ 0

    （2）∫[-∞,+∞]f(x)dx = 1

    F(x)，f(x)关系，性质               F(x) = ∫[-∞,x]f(t)dt

    （1）对连续型随机变量，F(x)是连续函数

    （2）F'(x) = f(x)

    （3）P{X = K} = 0

    （4）P{a ≤ x < b} = ∫[a,b]f(x)dx

    难点：

    f(x) = 0（在定义域外）,f(x) ≠ 0（在定义域D内)

    P{X∈G} = ∫[G]f(x)dx

    其中积分区域：G∩D（取交集）

    连续型随机变量的常见分布

    均匀分布X~u(a, b)

    背景，在(a, b)区间上随机均匀投点

    密度：f(x) = [1/(b-a),a<x<b;    0,其它]

    分布函数: F(x) = [0, x<a;    (x-a)/(b-a),a≤x<b;    1,b≤x]

    特性:[c, d]∈[a, b]

    P{c<X<d} = ∫[c, d]1/(b-a)dx = (d-c)/(b-a)    （长度之比）

    指数分布E(λ)

    背景：产品的寿命

    密度：f(x) = [(1/θ)e^(-x/θ), x>0;    0, 其它]   θ>0        也可以表示成f(x) = [λe^(-λx), x>0;    0，其它] λ>0

    分布函数：F(x) = [1 - e^(-λx), x>0;    0,其它]

    注：两个常用积分

    (1)X~E(λ)， P(X>t) = e^(-λt)

    (2)伽玛积分(T)    ∫[0, +∞]xⁿe⁻ˣdx = n!

    正态分布

    背景：身高，体重

    密度：f(x) = 1/((2π)^(1/2)σ)*e^(-(x-μ)²/2σ²),    x∈(-∞,+∞)

    图像：

    （1）对称性：f(x)关于x = μ对称

    P{X>μ} = P{X≤μ} = 1/2

    标准正态分布N(0,1)

    密度：φ(x)  = 1/（2π)^(1/2)*e^(-x²/2),    x∈(-∞,+∞)

    分布函数：Φ(x)，

    性质：X~N(0,1)

    (1)Φ(0) = P{X≤0}= 1/2

    (2)Φ(-x) = 1 - Φ(x)

    (3)P{|X|<c} = P{-c<X<c} = Φ(c) - Φ(-c) = 2Φ(c) - 1

    (2)标准化：若X~N(μ, σ²)，则Z = (X-μ)/σ ~ N(0, 1)

    应用：1）F(x) = P{X≤x} = P{(X-μ)/σ ≤ (x-μ)/σ} = Φ((x-μ)/σ)

    2)P{x₁<X<x₂} = P{(x₁-μ)/σ<(X-μ)/σ<(x₂-μ)/σ} =  Φ((x₂-μ)/σ) -  Φ((x₁-μ)/σ)

    3)利用正态概率密度求积分

    ∫[-∞,+∞]1/(2π)^(1/2)*e^(-x²/2)dx = 1

     ∫[-∞,+∞]e^(-x²/2)dx = (2π)^(1/2)

    ∫[-∞,+∞]e^(-x²)dx = (2π)^(1/2) = (π)^(1/2)

    性质：

    Z₁₋ₐ = -Zₐ

    正态分位数

    设X~N(0,1)，若Zₐ满足

    P{X>Zₐ} = a(0<a<1)

    称Zₐ为N(0,1)上的ₐ分位点

    性质Z₁₋ₐ = -Zₐ

    随机变量函数的分布

    问题：已知X的分布，求y = g(x)的分布

    类型：

    离散型：取值+概率

    连续型：分布函数法/公式法

    公式法：

    设随机变量X且有概率密度fᵪ(x)，-∞<x<+∞，设函数g(x)处处可导且恒有g'(x)>0（或恒有g'(x)<0)，则Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度为

    fᵧ(y) = [fᵪ[h(y)]|h'(y)|, α<y<β,     0,其他]，其中α=min{g(-∞),g(+∞)}, β=max{g(-∞),g(+∞)}，h(y)是g(x)的反函数

    注：对X~N(μ, σ²)，Y=aX+b ~ N(aμ+b, a²σ²)

亲爱的读者：有时间可以点赞评论一下