作者:whisper
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1、定义 设f(x, y)是有界闭区域D上的有界函数
将闭区域D任意分成n个小闭区域
△σ₁,△σ₂, ... , △σₙ,
其中△σᵢ表示第i个小闭区域,也表示它的面积
在每个△σᵢ上任取一点(ξᵢ, ηᵢ),f(ξᵢ, ηᵢ)
作乘积f(ξᵢ, ηᵢ)△σᵢ,并作和
∑[i=1, n]f(ξᵢ, ηᵢ)△σᵢ
如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时,这和的极限总存在,则称此极限为函数f(x, y)在闭区域D上的二重积分,记作
∫∫[D]f(x, y)dσ
即
∫∫[D]f(x, y)dσ = lim[λ->0]∑[i=1, n]f(ξᵢ, ηᵢ)△σᵢ
其中f(x, y)叫做被积函数,f(x, y)dσ叫做被积表达式,dσ叫做面积元素,x与y叫做积分变量,D叫做积分区域,∑[i=1, n]f(ξᵢ, ηᵢ)△σᵢ叫做积分和
注:在直角坐标系中,也把面积元素dσ记作dxdy,而把二重积分记作
∫∫[D]f(x, y)dxdy
其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素
二重积分的几何意义
一般的,如果f(x, y) >= 0,被积函数f(x, y)可解释为曲顶柱体的顶在点(x, y)处的竖坐标,所以二重积分的几何意义就是柱体的体积
如果f(x, y)是负的,柱体就在xOy面的下方,二重积分的绝对值仍等于柱体的体积,但二重积分的值是负的
如果f(x, y)在D的若干部分区域上是正的,而在其他的部分区域上是负的,那么,f(x, y)在D上的二重积分等于xOy面上方的柱体体积减去xOy面下方的柱体体积所得之差
性质1 设α,β为常数,则
∫∫[D][αf(x, y) + βg(x, y)]dσ = α∫∫[D]f(x, y)dσ + β∫∫[D]g(x, y)dσ
性质2 如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域,则在D上的二重积分等于在各部分区域上的二重积分的和
例如D分为两个闭区域D₁与D₂,则
∫∫[D]f(x, y)dσ = ∫∫[D₁]f(x, y)dσ + β∫∫ [D₂]f(x, y) dσ
这个性质表示二重积分对于积分区域具有可加性
性质3 如果在D上,f(x, y) = 1,σ为D的面积,则
σ = ∫∫[D]1dσ = ∫∫[D]dσ
性质4 如果在D上f(x, y)<=φ(x, y),则有
∫∫[D]f(x, y)dσ <= ∫∫[D]φ(x, y)dσ
特殊地,由于
-| f(x, y) | <= f(x, y) <= | f(x, y) |
又有
|∫∫[D]f(x, y)dσ| <= ∫∫[D]|f(x, y)|dσ
一元的情况
设M及m分别是函数f(x)在区间[a, b]上的最大值及最小值,则
m(b-a) <= ∫[a, b]f(x)dx <= M(b - a)
多元的情况
性质5 设M、m分别是f(x, y)在闭区域D上的最大值和最小值,σ是D的面积,则有
mσ <= ∫∫[D]f(x, y)dσ < Mσ
一元的情况
(定积分中值定理)如果函数f(x)在积分区间[a, b]上连续,则在[a, b]上至少存在一个点ξ,使下式成立
∫[a, b]f(x)dx = f( ξ )(b - a)
多元的情况
性质6 (二重积分的中值定理)设函数f(x, y)在闭区域D上连续,σ是D的面积,则在D上至少存在一点(ξ, η),使得
∫∫[D]f(x, y)dσ = f(ξ, η)σ
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