作者：whisper

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    随机样本

    总体X：一个统计问题中所研究对象（某数量指标）的全体，总体就是一个分布；

    样本Xᵢ：指组成总体的每一个对象或成员（随机变量）

    样本值xᵢ：样本的观察值（具体的数）x₁, x₂,...,xₙ

    简单随机样本：从总体中随机地抽取的n个样本X₁,X₂,...,Xₙ，它们相互独立且与总体X同分布

    样本二重性：

    一方面，由于样本是从总体中随机抽取的，抽取前无法预知它们的数值，因此样本是随机变量，用大写字母X₁, X₂,...Xₙ表示

    另一方面，样本在抽取以后经观测就有确定的观测值，因此样本值是一组具体的数字（不是随机变量），用x₁, x₂,...xₙ表示，请注意区别！

    若连续型总体X有fₓ(x)，则对样本X₁, X₂,...Xₙ有联合分布密度

    f(x₁,...,xₙ) = ∏[i=1,n]fₓ(xᵢ)

    若离散型总体X有 P(X=xᵢ) = pᵢ，i=1,2...，则样本X₁, X₂,...Xₙ有联合分布律

    P(X₁ = x₁,...,X₁ = x₁) = ∏[i=1,n]P(Xᵢ = xᵢ)

    一般地，总体X有Fₓ(x)，则联合分布函数：

    F(x₁,...xₙ) = ∏[i=1,n]F(xᵢ)

    抽样分布

    常用统计量

    （1）抽样均值    ￣X  = 1/n*∑[i=1,n]Xᵢ

    （2）抽样方差    S² = 1/(n-1)*∑[i=1,n](Xᵢ- ￣X)²

    注：S² = 1/(n-1)*(∑[i=1,n]Xᵢ² - n￣X²)

    样本均值（￣X），样本方差（S²）性质

    设总体X，E(X) = μ，D(X) = σ²

    样本Xᵢ与X同分布且Xᵢ相互独立(i=1,2,...,n)

    简记为 Xᵢ~(μ, σ²)

    E(Xᵢ) = μ, D(Xᵢ) = σ²

    性质

    E(￣X) = E(X)

    D(￣X) = 1/n*D(X)

    E(S²) = D(X)

    三大抽样分布

    1）χ分布

    定义：设总体X~N(0, 1)，Xᵢ~N(0, 1)

    χ² = X₁² + X₂² + ... + Xₙ² ~χ²(n)

    实质：n个标准正态分布平方和

    性质：χ²~χ²(n)，则E(χ²) = n，D(χ²) = 2n

    若X~χ²(n₁)，Y~χ²(n₂)，X与Y相互独立，则X+Y~χ²(n₁+n₂)

    2）t分布

    定义：X~N(0, 1)，Y~χ²(n)，X与Y独立

    则 T = X/sqrt(Y/n)~t(n)

    注：分子上标准正态分布，分母是卡方分布除以自由度开根号

    性质

    t(n)密度函数图像如图，有对称性

        E(T) = 0

    3）F分布

    定义：设X~χ²(n₁)，Y~χ²(n₂)且X与Y独立

    则 F = （X/n₁)/(Y/n₂)~F(n₁, n₂)

    注：分子分母均为卡方分布除以自由度

    性质：F~F(n₁, n₂)，则1/F~F(n₂, n₁)

    抽样分布定理

    单个正态总体 X~N(μ, σ²)

    样本Xᵢ~N(μ, σ²)，E(Xᵢ) = μ,   D(Xᵢ) = σ²

    E(￣X) = E(X) = μ

    D(￣X) = 1/n*D(X) = σ²/n

    (1)￣X = 1/n*∑[i=1,n]Xᵢ ~ N(μ, σ²/n)，则

    (￣X-μ)/sqrt(σ²/n)~N(0,1)

    (2)(n-1)S²/σ² = 1/σ²*∑[i=1,n](Xᵢ-￣X)²~χ²(n-1)

    (3)1/σ²*∑[i=1,n](Xᵢ - μ)²~χ²(n)

    (4)(￣X-μ)sqrt(n)/S ~ t(n-1)

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