作者：whisper

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    待定系数法

    二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是

                                y'' + py' + qy = f(x)                     (1)

    其中p，q是常数

    我们主要解决f(x)为以下形式时的（1）的特解y*，首先根据f(x)的两种不同形式，设出y*的形式，再将y*代入（1），即可得到（1）的特解，这种方法的特点是不用积分就可求出y*来，它叫做待定系数法

    f(x)的两种形式是：

    1、f(x) = Pₘ(x)e^(λx)，

    其中λ是常数， Pₘ(x) 是x的一个m次多项式：

                       Pₘ(x) = a₀xᵐ + a₁xᵐ⁻¹ + ... + aₘ₋₁x + aₘ

    2、f(x) = e^(λx)[Pₗ(x)cosωx + Pₙ(x)sinωx]

    其中λ、ω是常数，Pₗ(x)、Pₙ(x)分别是x的l次，n次多项式

    二阶常系数非齐次线性微分方程特解

    1、f(x) = e^(λx)Pₘ(x)型

    如果f(x) = e^(λx)Pₘ(x)，则二阶常系数非齐次线性微分方程（1）具有形如

                                  y* = xᵏQₘ(x)e^(λx)

    的特解

    其中Qₘ(x)是与Pₘ(x)同次（m次）的多项式

    而k按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根分别为0，1或2

    将y* = xᵏQₘ(x)e^(λx)代入（1），对比等式左右两侧x的相同幂次系数，即可得Qₘ(x)

    2、f(x) = e^(λx)[Pₗ(x)cosωx + Pₙ(x)sinωx]型

    如果f(x) = e^(λx)[Pₗ(x)cosωx + Pₙ(x)sinωx]，则二阶常系数非齐次线性微分方程（1）的特解可设为

                             y* = xᵏe^(λx)[R¹ₘ(x)cosωx + R²ₘ(x)sinωx]

    而k按λ + iω（或 λ - iω）不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取0或1

    m = max{l, n}

    将y* = xᵏe^(λx)[R¹ₘ(x)cosωx + R²ₘ(x)sinωx]代入（1），对比等式左右两侧cosωx，sinωx的系数，即可得R¹ₘ(x)，R²ₘ(x)

    注：特解的形式与f(x)的形式很像，多出了一个 xᵏ

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