作者:whisper
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在二阶齐次线性微分方程
y'' + P(x)y' + Q(x) = 0 (1)
中,如果y',y的系数P(x),Q(x)均为常数即(1)式成为:
y'' + py' + qy = 0
其中p,q是常数,则称(2)为二阶常系数齐次线性微分方程
如果不全为常数,称(1)为二阶变系数齐次线性微分方程
求二阶常系数齐次线性微分方程
y'' + py' + qy = 0 (2)
的通解的步骤如下:
第一步 写出微分方程(2)的特征方程
r² + pr + q = 0 (3)
第二步 求出特征方程(3)的两个根r₁,r₂
第三步 根据特征方程(3)的两个根的不同情形,按照下列表格写出微分方程(2)的通解
特征方程r² + pr + q = 0的两个根r₁,r₂ | 微分方程y'' + py' + qy = 0的通解 |
两个不相等的实根r₁,r₂ | y = C₁e^(r₁x) + C₂e^(r₂x) |
两个相等的实根r₁ = r₂ = r | y = (C₁ + C₂x)e^(rx) |
一对共轭复根r = α ± iβ | y = e^(αx)(C₁cosβx + C₂sinβx) |
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