作者:whisper
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d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = f(x)叫做二阶线性微分方程
当方程右端f(x) = 0时,方程叫做齐次的;当f(x) ≠ 0时,方程叫做非齐次的
y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0 (1)
如果函数:y₁(x)与y₂(x)是方程(1)的两个解,那么
y₁'' + P(x)y₁' + Q(x)y₁ = 0 y₂'' + P(x)y₂' + Q(x)y₂ = 0
(y₁ + y₂)'' + P(x) (y₁ + y₂) ' + Q(x) (y₁ + y₂) = 0 y₁(x) + y₂(x)是方程(1)的解
(y₁ - y₂)'' + P(x) (y₁ - y₂) ' + Q(x) (y₁ - y₂) = 0 y₁(x) - y₂(x)是方程(1)的解
C₁y₁(x) + C₂y₂(x)是方程(1)的解
C₁y₁'' + P(x)C₁y₁' + Q(x)C₁y₁ = 0 C₂y₂'' + P(x)C₂y₂' + Q(x)C₂y₂ = 0\
(C₁y₁+C₂y₂)'' + P(x)(C₁y₁+C₂y₂)' + Q(x)(C₁y₁+C₂y₂) = 0
定理1 如果函数:y₁(x)与y₂(x)是方程(1)的两个解,那么y = C₁y₁(x) + C₂y₂(x)也是(1)的解,其中C₁,C₂是任意常数
齐次解线性组合后仍为齐次解
定理2 如果y₁(x)与y₂(x)是方程(1)的两个线性无关的特解,那么y = C₁y₁(x) + C₂y₂(x)就是方程(1)的通解,其中C₁,C₂是任意常数
注:定理2 的解释
(1)两个
(2)齐次方程的解
(3)线性无关
定理3 设y*(x)是二阶非齐次线性方程
y'' + P(x)y' + Q(x)y = f(x) (2)
的一个特解,Y(x)是与(2)对应的齐次方程(1)的通解,那么Y(x) + y*(x)是二阶非齐次线性微分方程(2)的通解
即非齐次解 + 齐次解 = 非齐次解
定理4 设非刘次线性方程(2)的右端f(x)是两个函数之和,即
y'' + P(x)y' + Q(x)y = f₁(x) + f₂(x)
而y₁*(x)与y₂*(x)分别是方程
y'' + P(x)y' + Q(x)y = f₁(x) 与 y'' + P(x)y' + Q(x)y = f₂(x) 的特解,
那么y₁*(x)+y₂*(x)就是原方程的特解
这一定理通常称为线性微分方程的解的叠加原理
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