作者:whisper
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设函数 y = f(x) 在某区间内有定义,x₀及x₀+△x在这区间内,如果增量
△y = f(x₀ + △x) - f(x₀)
可表示为
△y = A△x + o(△x)
其中A是不依赖于△x的常数,那么称函数:y=f(x)在点x₀是可微的,而A△x叫做函数y = f(x)在点x₀相应于自变量增量△x的微分,记作
dy = A△x
一元函数的微分
当f(x)在点x₀可微时,其微分是
dy = f'(x₀)△x
y = f(x)的微分又可记作
dy = f'(x)dx
从而有
dy/dx = f'(x)
全微分的定义 设函数z = f(x, y)在点(x, y)的某邻域内有定义,如果函数在点(x, y)的全增量
△z = f(x + △x, y + △y) - f(x, y)
可表示为
△z = A△x + B△y + o(ρ)
其中A、B不依赖于△x、△y而仅与x, y有关,ρ = ((△x)^2 + (△y)^2)^(1/2)
则称函数z = f(x, y)在点(x, y)可微分
而A△x+B△y称为函数 z = f(x, y)在点(x, y)的全微分,记作dz
即
dz = A△x + B△y
可微分与连续的关系
由可微△z = A△x + B△y + o(ρ)得lim[ρ->0]△z = 0,从而有
lim[(△x,△y)->(0,0)]f(x+△x,y+△y) = lim[ρ->0][f(x,y) + △z] = f(x, y)
因此函数z = f(x, y)在点(x, y)处连续
定理1 (必要条件)如果函数z = f(x, y)在点(x, y)可微分,则该函数在点(x, y)的偏导数δz/δx,δz/δy必定存在,且函数z = f(x, y)在点(x, y)的全微分为
dz = (δz/δx)dx + (δz/δy)dy
注:可微分判定
1、两个偏导数存在
2、 lim[(△x,△y)->(0,0)][f(x₀+△x,y₀+△y) - A△x - B△y]/((△x)^2 + (△y)^2)^(1/2) = 0
定理2 (充分条件)如果函数z = f(x, y)的偏导数δz/δx、δz/δy在点(x, y)连续,则函数在该点可微分
总结:
对一元函数
对二元函数
推广 如果三元函数u = f(x, y, z)要微分,那么它的全微分就等于它的三个偏微分之和
即
du = (δu/δx)dx + (δu/δy)dy + (δu/δz)dz
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