作者：whisper

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    曲线的凹凸性

    定义1 设f(x)在区间I上连续，如果对I上任意两点x₁,x₂恒有

                 f((x₁+x₂)/2) < (f(x₁) + f(x₂)) / 2

    那么称f(x)在I上的图形是凹的（或凹弧）；如果恒有

                  f((x₁+x₂)/2) > (f(x₁) + f(x₂)) / 2

    那么称f(x)在I上的图形是凸的（或凸弧）

    定理1 设f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内具有一阶和二阶导数，那么

    （1）若在（a, b)内f''(x) > 0，则f(x)在[a, b]上的图形是凹的

    （2）若在（a, b)内f''(x) < 0，则f(x)在[a, b]上的图形是凸的

    曲线的拐点

    定义2 设y = f(x)在区间I上连续，x₀是I的内点，如果曲线y = f(x) 在经过点(x₀, f(x₀))时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点(x₀, f(x₀))为这曲线的拐点

    定理2 必要条件

    (x₀, f(x₀))为f(x)的拐点，那么f''(x₀)=0，或者x₀二阶不可导，同理，如果f''(x₀) ≠ 0，一定不为f(x)的拐点

    定理3 （第一充分条件）设函数f(x)在x₀处连续，且在x₀的某去心邻域U(x₀, δ)内二阶可导

    （1）若x∈(x₀ - δ, x₀)时，f''(x)的符号与x∈(x₀, x₀ + δ)时，f''(x)的符号相反，则点(x₀, f(x₀))为曲线y=f(x)的拐点

    （2）若x∈去心邻域U(x₀, δ)时，f''(x)的符号保持不变，则点((x₀, f(x₀))不为曲线y=f(x)的拐点

    定理4 （第二充分条件）设函数f(x)在x₀某去心邻域内具有三阶连续导数，如果f''(x₀) = 0， f'''(x₀) ≠ 0，那么点(x₀, f(x₀))为曲线y = f(x)的拐点

    求解连续曲线y=f(x)的拐点的步骤：

    （1）求f''(x)；

    （2）令f''(x) = 0，解出这方程在区间I内的实根，并求出在区间I内f''(x)不存在的点；

    （3）对于（2）中求出的每一个实根x₀，以下两种方法均可：

        1）检查f''(x)在x₀左、右两侧邻近的符号，当两侧的符号相反，点(x₀, f(x₀))是拐点，不两侧符号相同，点(x₀, f(x₀))不是拐点

        2）检验f'''(x₀)，当f'''(x₀)≠0时，点(x₀, f(x₀))是拐点

    对于（2）中二阶导数不存在的点x₀，检查f''(x)在x₀左、右两侧邻近点的符号，两侧的符号相反时，点(x₀, f(x₀))是拐点，当两侧的符号相同时，点(x₀, f(x₀))不是拐点

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