作者：whisper

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    无穷限的反常积分

    设函数f(x)定义在[a, +∞)上连续，取t>a，如果lim[t->+∞]∫[a, t]f(x)dx存在，则称此极限为函数f(x)在[a, +∞)上的反常积分，即

                                      ∫[a, +∞)f(x)dx = lim[t->+∞]∫[a, t]f(x)dx

    此时也称反常积分∫[a, +∞]f(x)dx收敛，否则称反常积分∫[a, +∞)f(x)dx发散

    设函数f(x)定义在(-∞, b]上连续，取t>b，如果lim[t->-∞]∫[t, b]f(x)dx存在，则称此极限为函数f(x)在(-∞, b]上的反常积分，即

                                      ∫[-∞, b]f(x)dx = lim[t->-∞]∫[t, b]f(x)dx

    此时也称反常积分∫[-∞, b]f(x)dx收敛，否则称反常积分∫[-∞, b]f(x)dx发散

    设函数f(x)定义在(-∞, +∞)上连续，取t>b，如果反常积分∫[0, +∞]f(x)dx和 ∫(-∞, 0]f(x)dx都收敛，则称 ∫[0, +∞]f(x)dx+ ∫(-∞, 0]f(x)dx 为函数f(x)在(-∞, +∞)上的反常积分，即

                                      ∫[-∞, +∞]f(x)dx = ∫(-∞, 0]f(x)dx + ∫[0, +∞]f(x)dx

    此时也称反常积分 ∫[-∞, +∞]f(x)dx 收敛，否则称反常积分 ∫[-∞, +∞]f(x)dx 发散

    注：常见情况

    反常积分∫[a, +∞]dx/xᵖ (a > 0)，当p > 1时收敛，当p <= 1时发散

    反常积分∫[a, +∞]dx/xᵖlnᵗx (a > e)，当p > 1时收敛，当p < 1时发散，当p = 1时，t <= 1时，发散，当t > 1时，收敛

    无界函数的反常积分

    设函数f(x)在(a, b]上连续，lim[x->a⁺]f(x) = ∞，取t > a，如果lim[t->a⁺]∫[t, b]f(x)dx存在，则称此极限为函数f(x)在(a, b]上的反常积分，即

                                      ∫[a, b]f(x)dx = lim[t->a⁺]∫[t, b]f(x)dx

    此时也称反常积分∫[a, b]f(x)dx收敛，否则称反常积分 ∫[a, b]f(x)dx 发散

    设函数f(x)在[a, b)上连续，lim[x->b⁻]f(x) = ∞，取t < b，如果lim[t->b⁻]∫[a, t]f(x)dx存在，则称此极限为函数f(x)在[a, b)上的反常积分，即

                                      ∫[a, b]f(x)dx = lim[t->b⁻]∫[a,t]f(x)dx

    此时也称反常积分∫[a, b]f(x)dx收敛，否则称反常积分 ∫[a, b]f(x)dx 发散

    设函数f(x)在[a, c)，(c, b]上连续，lim[x->c]f(x) = ∞，取t < b，如果反常积分∫[a, c]f(x)dx和 ∫[c, b]f(x)dx都收敛，则称 ∫[a, c]f(x)dx+∫[c, b]f(x)dx 为函数f(x)在[a, b]上的反常积分，即

                                      ∫[a, b]f(x)dx = ∫[a, c]f(x)dx+∫[c, b]f(x)dx

    此时也称反常积分∫[a, b]f(x)dx收敛，否则称反常积分 ∫[a, b]f(x)dx 发散

    注：常见情况

    反常积分∫[a, b]dx/(x-a)ᵖ，当0<q<1时收敛，当q>=1时发散

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