作者：whisper

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    极限的定义与性质

    重要概念

    极限 邻域 δ邻域 去心δ邻域 邻域半径 单侧极限 左极限 右极限 极限的惟一性，有界性，局部保号性 根限存在准则（夹逼准则，单调有界准则） 无穷小 高阶，同阶，等价无穷小

    公式定理性质

    

注：下面是极限存在和/或不存在时和差积商的性质

    典型例题

    D 注：左右极限不相等

    A 注：显然x趋向1，2时为无穷

    C 注：1点左侧逼近时f'(x)<0，1点右侧逼近时f'(x)>0，因为分式结果为正，分子分母同号

    C 注：g(x)可以用f(x)和v(x)表示，一个存在一个不存在，结果一定不存在

    1/2 注：缩放非关键项，保留关键项，都变成第一项，都变成最后一项

    3 注：可用归纳法证单减，大于0有界，故有极限，n->∞时，xₙ₊₁ = xₙ，解方程可求出xₙ即极限值

     0 注：前半部分分式利用性质x->+∞时，对数增长远小于冥增长远小于指数增长，知前半部分结果为0 ，后半部分有界，无穷小乘有界结果有0

    求函数的极限

    重要概念

    等价代换 洛必达法则 泰勒公式 等价无穷小 有理化 去根号 三角公式 0/0型 ∞/∞型 0•∞型 ∞-∞型 ∞⁰型 0⁰型 1^∞型

    方法

    注：注意各种变形，如x->1 sin(x-1)~x-1, x->∞ sin(1/x)~1/x

    典型例题

    2/3 注：三角公式，洛必达法则，等价无穷小（多种知识的综合运用）

    1/12 注：等价无穷小，洛必达法则

    1/4 注：分子有理化去根号，三角公式，等价无穷小

    注：利用泰勒公式或洛必达法则，还可以加以推广

    1 注：分子分母同除以最大量

    1 注：分子分母同除以最大量

    0 注：化成∞/∞型，洛必达法则

    1 注：化成0/0型，洛必达法则，通分，分子分母同除以最大量

    3/2 注：通分，洛必达

    注：倒代换，通分，等价无穷小

    1 注：对∞⁰型 0⁰型

    再把v(x)lnu(x)这个0•∞型化成∞/∞计算

    1/3 注：对1^∞，常用方法

    化成了0•∞型

    1/3 注：化成0/0型，再用三角公式，等价无穷小

    泰勒公式

    重要概念

    泰勒公式 展开式 余项 麦克劳林公式

    公式定理性质

    形式

    常用泰勒公式

 

    典型例题

    -1/4 注：利用泰勒展开式

    36 注：sin6x泰勒展开，上下可以消掉一个x，出现所求的样子

    a=-1/12,b=4 注：g(x)泰勒展开，化为多项式相加

    -3 注：都是加减关系，泰勒展开后计算较简单

    f(0) = -3, f'(0) = 0, f''(0) = 1, 极限=1/2 注：用泰勒展开sin3x，f(x)到三阶，对比系数，求出f(0),f'(0),f''(0)，只展开sin3x到3阶，会出现所求极限，求出即可

    求数列的极限

    重要概念

    数列 前n项和

    公式定理性质

 

    典型例题

    1 注：裂项求和

    1 注：夹逼定理

    max(a₁,a₂...aₘ) 注：关键项是max(a₁,a₂...aₘ)，夹逼定理（缩放）

    4sqrt(a) 注：推广的算术平均大于几何平均，有下限，作差xₙ₊₁-xₙ<0(或作商xₙ₊₁/xₙ<1)单减，故有极限，n->∞时，x₁₊ₙ=xₙ，解一元方程可得极限

    函数的连续与间断

    重要概念

    连续 极限 间断点 第一类间断点 第二类间断点

    公式定义性质

    闭区间上连续函数的性质

   

    重要概念

    闭区间 开区间 有界性 最大值最小值定理 介值定理 零点定理

    公式定义性质

    典型例题

    0：无穷，1：跳跃 注：在分母为0时取得间断点

    注：构造新函数，F(x) = f(x)-右侧，F(x₁) < 0, F(xₙ) > 0，零点定理可证

    a=-1连续，a=-2可去，a≠-1且a≠-2时可去 注：连续的定义，讨论两个极限

    习题总结

    注：0/0型，洛必达法则或换元等价无穷小

    注：等价无穷小，x-ln(1+tanx)凑成x-tanx+tanx-ln(1+tanx)，拆分成两个存在的极限

    0 注：拆分成两个存在的极限，前一个极限用拉格朗日中值定理或用等价无穷小

    4/3 注：拆成两个存在的，等价无穷小，洛必达法则

    注：1^∞型，倒代换

    注：拆分，比较

    a=1,b=1 注：倒代换产生分式，拆分分式成两个极限

    注：商式等于1，有理化，拆分或者+1-1拆分

   (3+sqrt(21))/2 注：求前两项，推测单调性，构造函数求导若导数>0则单调，x₁>x₂，单减，x₁<x₂，单增，若导数<0不单调；本题单增有上界，有极限，解一元方程得出极限，也可以用数学归纳法

    3 注：分母为0的点，此时左右极限要存在且不相等

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