作者：whisper

链接：http://proprogrammar.com:443/article/239

声明：请尊重原作者的劳动，如需转载请注明出处

---

    说明：本章开始为高等数学下册的内容

    向量及其线性运算

    重要概念

    向量  向量的模 单位向量 两向量间的夹角 空间直角坐标系 方向角 向量的方向余弦 

    公式定义性质

    典型例题

    注：解方程，向量的加减运算

    注：设出M，求出结果，记住结论

    注：模长相等

    注：设出点，两点间距离公式

    注：单位化

    注：三个方向角余弦的平方和为1，求出第三个方向角，方向角余弦乘模长为该方向大小

    注：投影等于原向量乘以投影方向的夹角的余弦值

    数量积 向量积 混合积

    重要概念

    数量积 向量积 混合积 

    公式定义性质

    性质：

    典型例题

    

    注：简单计算

    注：模长公式，凑出差的平方，利用前两个式子

    注：通过点乘求出夹角

    注：简单计算

    注：向量积求面积

    注：混合积求体积，四面体体积公式V=1/3*S*h

    注：混合积为0共面

    注：运算性质，混合积中有两项相同结果为0

    空间平面及其方程

    重要概念

    平面 平面方程 平面法向量 点法式 一般式 截距式 三点式 两平面间的夹角

    公式定义性质

    注：点法式是用的最多的形式

    典型例题

    注：点法式

    注：向量积求出法向量，点法式

    注：过x轴，A,D为0

    注：截距式

    注：即求两平面法向量夹角

    注：要求平面法向量垂直M₁M₂和已知平面法向量，用向量积，点法式

    注：点到平面间的距离公式

    空间直线及其方程

    重要概念

    空间直线 方向向量 直线方程 一般式 对称式 参数式 两点式 平面束 两直线的夹角 直线与平面的夹角 

    公式定义性质

    求方向向量：方向向量与两平面的法向量平行，所以用向量积

    注：两平面交线

    注：由方向向量和一点确定，类似平面方程中的点法式

    注：表示过一直线的所有平面，也可以写成下面的形式，但不能取到第二个平面

    典型例题

    注：找到方向向量和一个点，找点可以先设一个方向的坐标，如x=1，方向向量用向量积得到

    注：通过方向向量求

    注：求出方向向量，用对称式方程

    注：求出方向向量，用对称式方程

    注：三式联立，或用直线的参数方程，代入平面方程求出参数

    注：先求过已知点和已知直线垂直的平面，则所求直线一定在该平面内，求出该平面与已知直线的交点，该交点也即所求直线与已知直线的交点，两个点可以确定一条直线

    注：过已知直线且与已知平面垂直的平面与已知平面的交线即为所求，用到了平面束，平面法向量垂直

    注：平面法向量即直线方向向量

    注：平面法向量与两直线方向向量都垂直，用向量积

    注：用公式

    注：直线间的距离公式

    曲面及其方程

    重要概念

    曲面 曲面方程 旋转曲面 柱面 锥面 二次曲面  

    公式定义性质

    注：对这种在一个坐标面内，绕一个轴旋转（如在yoz平面内，f(y, z) = 0，此时x = 0，绕z轴旋转，则z不变，将y变成sqrt(x²+y²)，即为空间曲面的方程，即f(sqrt(x²+y²), z) = 0），则绕的轴不变，另一个变量变成另两个轴的根号下平方和

    典型例题

    注：用上面总结的内容，旋转出来的内容如下

    空间曲线及其方程

    重要概念

    曲线 空间曲线方程 一般式 参数式 投影

    公式定义性质

    注：对比空间直线由两平面相交构成，空间曲线由两曲面相交构成

    注：三个未知数消掉一个，剩两个未知数来参数化，第三个未知数用剩余的两个表示

    典型例题

    注：表示图形如下

    注：表示图形如下

    注：消z，与z=0联立

    注：消z，与z=0联立

    注：消z，与z=0联立

    注：是求投影曲线方程，求zox面投影曲线方程可以直接用2x-z=0

    注：用总结的内容求（坐标面内曲线绕坐标轴旋转）

    注：用旋转面原始的定义，z=z₀，sqrt(x₀²+y₀²) = sqrt(x²+y²)

---

亲爱的读者：有时间可以点赞评论一下