作者：whisper

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    多元函数的基本概念

    重要概念

    平面点集 邻域 去心邻域 多元函数 二元函数 二元函数极限 二元函数连续性 

    公式定义性质

    

    注：区分内点，外点，边界点

    典型例题

    注：V = πr²h，V是r,h的二元函数

    注：二元函数

    注：二元函数

    注：被开方数大于等于0，分母不能为零，对数真数大于0

    注：找两条路径极限不相等，如y=k₁x, y=k₂x

    注：已定式，直接做

    注：0/0型，等价无穷小

    注：0/0型，等价无穷小

    注：无穷小乘有界

    注：极限值等于函数值

    注：函数值不存在

    注：上面看成一个无穷小乘有界

    偏导数及多元复合函数的求导法则

    重要概念

    偏导数 一阶偏导数 高阶偏导数 多元复合函数 

    公式定义性质

    注：曲面上某点偏导数看成过该点平行于x(y)轴的平面与曲面的交线的切线

    注：找准因变量，中间变量，自变量

    典型例题

    注：用定义，极限值等于函数值连续，左右偏导数存在不相等

    注：同上，用定义

    注：用定义求

    注：用偏导数的求导法

    注：用偏导数的求导法

    注：用偏导数的求导法

    注：x,y,z有轮换对称性，只求一个即可，其它两个换未知数即可

    注：基本的求偏导计算

    注：基本求偏导的运算

    注：x,y,z具体轮换对称性，只要求一个

    注：偏导数的基本运算

    注：冥指函数，化为指数为底

    对自变量求导

    注：先对中间变量求导，中间变量再对自变量求导

    注：全微分方程，二阶偏导数的计算

    注：先对中间变量求导，中间变量再对自变量求导

 

    注：两个函数的情况，每一个求偏导相加

    注：先对中间变量求导，中间变量再对自变量求导

    注：先对中间变量求导，中间变量再对自变量求导

    注：先对中间变量求导，中间变量再对自变量求导

    注：先对中间变量求导，中间变量再对自变量求导

    全微分及全微分的形式不变性

    重要概念

    全微分 全微分形式不变性 可微 可导 连续 

    公式定义性质

    注：可微不能推出一阶偏导数连续，一阶偏导数连续一定可微

    注：求导到中间变量和自变量结果是一样的，所以计算时可以先对中间变量求导，中间变量再对自变量求导

    注：和求导结果类似，由此引出全微分的四则运算

    典型例题

    注：全微分定义，求出偏导数相加

    注：全微分定义

    注：全微分定义，三个自变量，求三次偏导

    注：由极限得出分子是分母的高阶无穷小，得出f(x, y)带高阶无穷小的函数形式，用定义求出f'ₓ和f'ᵧ，得出全微分

    注：用连续，可导，可微，一阶偏导数连续的性质

    注：用可微判定的定义法

    注：利用全微分形式的不变性

    注：两边全微分，用全微分的四则运算

    注：全微分的四则运算

    隐函数的求导公式

    重要概念

    隐函数 二元隐函数 隐函数存在定理 

    公式定义性质

    典型例题

    注：求x,y偏导，组成全微分或者直接求全微分或者用公式法

    注：一阶求偏导尽量用公式法

    注：求偏导法，微分法，公式法三者选一

    注：求偏导数，有中间变量

    注：求二阶偏导数

    注：f'ᵧ不为0，说明能唯一确定一个连续导数

    注：x(y或z)偏导数不为0即可确定z(y或z)的函数

    注：两个方程先求x偏导数， 得出∂u/∂x和∂v/∂x，同理两个方程对y求偏导，得出∂u/∂y和∂v/∂y

    多元函数极值及其求法

    重要概念

    多元函数极值  多元函数最值 无条件极值 等式约束条件的极值（拉格朗日乘数法） 有界闭区域上的二元连续函数的最值

    公式定义性质

    典型例题

     注：二元函数求极值

    注：可微连续，用无条件极值判断的充分条件求是否是极值

    注：一阶偏导为0，看B²-AC的情况

    注：用无条件极值的充分条件

    注：一元函数求极值，一阶导数为0，求出对应x,y, 看二阶导数情况

    注：二元函数求极值，求一阶偏导，令为0 ，求出x,y,z，看二阶的情况，计算量较大，需要细心

    注：条件极值，用拉格朗日乘数法

    注：条件极值，用拉格朗日乘数法，四个未知数

    注：条件极值，用拉格朗日乘数法，四个未知数

    注：求原函数可以用凑微分法

    或者用偏积分法

 

    分为椭圆域内和边界上，椭圆域内用无条件极值，边界上时椭圆方程代入原函数，消去一个自变量，讨论一个自变量的情况

    二元函数的泰勒公式

    重要概念

    二元函数的泰勒公式 余项 增量

    公式定义性质

    典型例题

    注：展开式如下，代入计算，计算量较大

    注：二阶展开式如下，代入计算

    多元函数微分学的几何应用

    重要概念

    空间曲线的切线与法平面 空间曲面的法线与切平面

    公式定义性质

    注：方向向量的另一种求法

    典型例题

    注：求出方向向量，对称式切线方程，点法式法平面方程

    注：两个方程对x求导，求出y，z对x的偏导即求出方向向量，又知一点可求所求

    注：即切线与平面法向量垂直

     注：求法向量，又知一点可得所求，重要是求偏导数

     注：求法向量，又知一点可得所求，重要是求偏导数

    注：求法向量，又知一点可得所求，重要是求偏导数

    注：求法向量，又知一点可得所求，重要是求偏导数

    方向导数和梯度

    重要概念

    方向导数 梯度

    公式定义性质

    注：即方向导数沿梯度方向最大

    典型例题

    注：算偏导，方向余弦，方向余弦即向量单位化后的值

    注：用三个变量的方向导数求法的公式

    注：求偏导数，加上i, j

    注：即与梯度方向的关系

    注：三个变量的梯度

    注：求梯度，先求偏导数

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