作者：whisper

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    函数的和差积商的求导法则

    定理1 如果函数u=u(x)及v=v(x)都在点x具有导数，那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在x爱上了有导数

    （1）[u(x) ± v(x)]' = u'(x) ± v'(x)

    （2）[u(x)v(x)]' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)

    （3）[u(x)/v(x)]' = u'(x)v(x) - u(x)v'(x) / [v(x)]²    (v(x) ≠ 0)

    常数和基本初等函数的导数公式

    （1）(C)' = 0

    （2） (xᵘ)' = uxᵘ⁻¹

    （3）(aˣ)' = aˣlna

    （4）(eˣ)' = eˣ

    （5）(logₐx)' = 1/(xlna)

    （6）(lnx)' = 1/x

    （7）(sinx)' = cosx

    （8）(cosx)' = -sinx

    （9）(tanx)' = sec²x

    （10）(cotx)' = -csc²x

    （11）(secx)' = secxtanx

    （12）(cscx)' = -cscxcotx

    （13）(arcsinx)' = 1/(1-x²)^(1/2)

    （14）(arccosx)' = -1/(1-x²)^(1/2)

    （15）(arctanx)' = 1/(1+x²)

    （16）(arccotx)' = -1/(1+x²)

    反函数的求导法则

    定理2 如果函数x=f(y)在某区间Iᵧ内单调、可导且f'(y) ≠ 0，那么它的反函数y=f⁻¹(x)在对应区间Iₓ={x|x=f(y)，y∈Iᵧ}内可导，并且

        [f⁻¹(x)]' = 1/f'(y)或dy/dx = 1/(dx/dy)，即反函数的导数是原函数导数的倒数

    定理3 如果u=g(x)在点x可导，而y=f(u)在点u=g(x)可导，则复合函数y=f[g(x)]在点x可导，且其导数为dy/dx=f'(u) · g'(x)或dy/dx = (dy/du) · (du/dx)

    注：可用于多个函数的复合，导数类似，这叫做链式法则

    高阶导数的概念

    一般的，函数y=f(x)的导数y' = f'(x)仍然是x的函数，我们把y' = f'(x)的导数叫做函数y=f(x)的二阶导数，记做y''或d²y/dx²

    类似的，二阶导数的导数，叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数，....，一般的，(n-1)阶导数的导数叫做n阶导数，分别记作

                  y'''，y^(4)，...，y^(n)

               或

               d³y/dx³，d⁴y/dx⁴，...，d''y/dx''

    几个n阶导数的例子

    (sin(ax+b))^(n) = aⁿsin(ax+b+nπ/2)

    (cos(ax+b))^(n) = aⁿcos(ax+b+nπ/2)

    (ln(ax+b))^(n) = ((-1)ⁿ⁻¹aⁿ(n-1)!)/(ax+b)ⁿ

    莱布尼兹公式

    (uv)^(n)  = C(n, 0)u^(n)*v^(0) + C(n, 1)u^(n-1)*v^(1) + ... + C(n, i)u^(n-i)*v^(i) + ... + C(n, n)u^(0)*v^(n)

    其中u^(0) = u，v^(0) = v

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